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动态规划问题的基本方程

来源:www.logichotspot.net 时间:2024-06-12 03:06:09 作者:标新规划网 浏览: [手机版]

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动态规划是一种解一类最问题的算法,该算法将问题划分为多子问题,通过求解子问题的最解来得到原问题的最标.新.规.划.网动态规划算法的核心思想是利用已经求解过的子问题的最解来求解当前问题的最解。在动态规划算法中,我们需要定义状态、状态转移方程、初始状态和边界条件。

一、状态

  状态是指动态规划算法中需要求解的问题的某阶段的状态,通常用一或多量来表。状态是动态规划算法中的核心概念,它定了算法的复杂度和正确性。

二、状态转移方程

  状态转移方程是指从一状态到另一状态的转移规则,它是动态规划算法的核心。在动态规划算法中,我们需要据问题的特点,定义状态转移方程。状态转移方程通常是递归式的,它描述了如何从一状态转移到另一状态。状态转移方程是动态规划算法的核心,通过状态转移方程可以求解问题的最标.新.规.划.网

三、初始状态和边界条件

  初始状态是指动态规划算法开始时的状态,它通常是一已知的状态。在动态规划算法中,我们需要定义初始状态,以便开始求解问题的最解。边界条件是指动态规划算法中的一些特殊情况,它通常是一已知的条件。在动态规划算法中,我们需要定义边界条件,以便正确地求解问题的最解。

动态规划问题的基本方程可以分为两类:一类是最问题,另一类是计数问题。

  一、最问题

  最问题是指在满足一定约束条件的情况下,求解某目标函数的最大值或最值问题。最问题是动态规划算法中的一类重要问题,它通常需要定义状态、状态转移方程、初始状态和边界条件。

  1. 线性最问题

  线性最问题是指在满足一定的线性约束条件下,求解某线性目标函数的最大值或最值问题标.新.规.划.网。在动态规划算法中,线性最问题通常需要定义状态、状态转移方程、初始状态和边界条件。

  以背包问题为例,假设有一容量为V的背包,和n物品,每物品有一重量w[i]和一价值v[i]。现在要从n物品中选择一些物品放入背包中,得放入的物品总重量不超过V,且放入的物品总价值最大。我们可以定义状态f[i][j]表前i物品放入容量为j的背包中所得到的最大价值,状态转移方程为:

  f[i][j] = max{f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i]}

  其中,f[i-1][j]表不放第i物品所得到的最大价值,f[i-1][j-w[i]] + v[i]表放第i物品所得到的最大价值。初始状态为f[0][0] = 0,边界条件为f[i][0] = 0和f[0][j] = 0。

  2. 非线性最问题

非线性最问题是指在满足一定的非线性约束条件下,求解某非线性目标函数的最大值或最值问题。在动态规划算法中,非线性最问题通常需要定义状态、状态转移方程、初始状态和边界条件。

  以最长公共子序列问题为例,假设有两字符串S和T,求它们的最长公共子序列的长度标新规划网www.logichotspot.net。我们可以定义状态f[i][j]表S的前i字符和T的前j字符的最长公共子序列的长度,状态转移方程为:

  f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1, if S[i] = T[j]

f[i][j] = max{f[i-1][j], f[i][j-1]}, if S[i] ≠ T[j]

其中,f[i-1][j-1] + 1表S的前i-1字符和T的前j-1字符的最长公共子序列的长度加上S[i]和T[j]相等的贡献,f[i-1][j]表S的前i-1字符和T的前j字符的最长公共子序列的长度,f[i][j-1]表S的前i字符和T的前j-1字符的最长公共子序列的长度。初始状态为f[0][0] = 0,边界条件为f[i][0] = 0和f[0][j] = 0。

二、计数问题

  计数问题是指在满足一定约束条件的情况下,求解某组合数或排列数的问题。计数问题是动态规划算法中的一类重要问题,它通常需要定义状态、状态转移方程、初始状态和边界条件。

  1. 组合数问题

  组合数问题是指从n元素中取出k元素的组合数问题,通常用C(n,k)表。在动态规划算法中,组合数问题通常需要定义状态、状态转移方程、初始状态和边界条件。

  以数位DP问题为例,假设有一数n,求它的各数位之和为s的所有组合数。我们可以定义状态f[i][j]表i位数位和为j的组合数,状态转移方程为:

  f[i][j] = ∑f[i-1][j-k], k = 0,1,2,...,9

  其中,f[i-1][j-k]表i-1位数位和为j-k的组合数,k表当前数位的取值bQF。初始状态为f[0][0] = 1,边界条件为f[i][j] = 0,当j 9i时。

2. 排列数问题

排列数问题是指从n元素中取出k元素的排列数问题,通常用A(n,k)表。在动态规划算法中,排列数问题通常需要定义状态、状态转移方程、初始状态和边界条件。

  以最长上升子序列问题为例,假设有一序列a,求它的最长上升子序列的长度。我们可以定义状态f[i]表以a[i]结尾的最长上升子序列的长度,状态转移方程为:

  f[i] = max{f[j]+1}, 1 ≤ j < i, a[j] < a[i]

  其中,f[j]+1表以a[j]结尾的最长上升子序列的长度加上a[i]的贡献。初始状态为f[1] = 1,边界条件为f[i] = 1,当1 ≤ i ≤ n时。

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